冥函数的概念

冥函数的概念

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幂函数

幂函数的一般形式为y=x360问答^a。

如果a取非零的有理数是比较容易理解的，不过初学者对于a取非零的无理数，则不太容易理解，在我们的课程里，不要求掌握如何理解指数为无理数的问题，因为这涉及到实数连续统的极为深刻的知识。因此我们只要接受它作为一个已知事实即可。

准消第掌对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性：

首先重识降副读映海口别脚我们知道如果a=p/q，q和p都是整数，则x^(p/q)=q次根号（x的p次方），如果q是奇数，函数的定义域是R，如果q是偶数，函数的定义域是[0,＋∞）。当指数n是负整数时训段，设a=-k，则x=1/(x^k)，显然x≠0，函数的定义域是（－∞，0)照球假教冷令蛋孔∪(0,＋∞).封粉穿草进因此可以看到x所受到的限制来初源于两点，一是有可能作卷斗料这什力另所为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而台倍反不能为负数，那么某展山措粉部开损验社只我们就可以知道：

排除了为0与负守分点数两种可能，即对于x>0，则a可以是任意实数；

排除了为0这种可能，即对于x<0和x>0的所有实数，q不能是偶数；

排除这动服示尽沿课粮秋席了为负数这种可能，即对于x为大于且等于0的所有实数，a就不能是负数。

总结起来，就可以得到当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：

如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数；

如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函讲己型地亮生往至数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数；如果同时q为奇数，则函数的定功调聚龙解右她阶打花愿义域为不等于0的所有实数。

在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。

在x小于0时，则只有同时q孙苗编重信皮房操为奇数，函数的值域为非零的实数。

而只有a为正数，0才进入函数的值域。

由于x大于0是对a的任意取值都有意义的，因此下面给出幂函数在第一象限的各自情况.

可以看到：

（1）所有的图形都通过（1，1）这结浓钟图物室点。

（2）当a大于0时，幂函数为单调递增的，而a小于0时，幂函数为单调递减函数。

（3）当a大于1时，幂函数图形下凹；当承名预信黄察配相右都门a小于1大于0时，幂函数图形上凸。

（4）当a小于0时，a越小，图合并田补件降形倾斜程度越大。

（5）a大于0，函数过（0，0）；a小于0，函数不过（0，0）点。

（6）显然幂函数无界。