数学乘法公式

数学乘法公式

http://baike.baidu.com/view/901257.htm这里面详细答案详细采纳乘法公式 1. 乘法公式也叫做简乘公式,就是把一些特殊的多项式相乘的结果加以总结,直接 应用.公式中的每一个字母,一般可以表示数字,单项式,多项式,有的还可以推广到分式, 根式. 公式的应用不仅可从左到芹郑右的顺用(乘法展开),还可以由右向左逆用(因式分解). 要记住一些重要的公式变形及其逆运算——除法等. 2. 基本公式就是最常用,最基础的公式,可以由此而推导出其它公式. 完全平方公式:(a±b)2=a2±2ab+b2, 平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2, 立方和(差)公式:(a±b)(a2mab+b2)=a3±b3. 3. 公式的推广: ①多项式平方公式:(a+b+c+d)2=a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd. 即:多项式的平方等于各项的平方和,加上每两项森差积的2倍. ②二项式定理:(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3, (a±b)4=a4±4a3b+6a2b2±4ab3+b4, (a±b)5=a5±5a4b+10a3b2 ±10a2b3+5ab4±b5, ………… 注意观察右边展开式的项数,指数,系数,符号的规律. ③由平方差,立方和(差)公式引申的公式 (a+b)(a3-a2b+ab2-b3)=a4-b4, (a+b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)=a5+b5, (a+b)(a5-a4b+a3b2-a2b3+ab4-b5)=a6-b6, ………… 注意观察左边第二个因式的项数,指数,系数,符号的规律. 在正整数指数的条件下,可归纳如下:设n为正整数 ⑴(a+b)(a2n-1-a2n-2b+a2n-3b2-…+ab2n-2-b2n-1)=a2n-b2n, ⑵(a+b)(a2n-a2n-1b+a2n-2b2-…-ab2n-1+b2n)=a2n+1+b2n+1, 类似地: ⑶(a-b)(an-1+an-2b+an-3b2+…+abn-2+bn-1)=an-bn. 4. 公式的变形及其逆运算 由(a+b)2=a2+2ab+b2 得 a2+b2=(a+b)2-2ab;(a-b)2=(a+b)2-4ab. 由 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b)得 a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b). 由公式的推广可知:当n为正整数时,an-bn能被a-b整除; a2n+1+b2n+1能被a+b整除; a2n-b2n能被a+b及a-b整除. 乙 例题 例1.己知:x+y=a, xy=b . 63 求:①x2+y2 ; ②x3+y3 ; ③x4+y4; ④x5+y5. 解:①x2+y2=(x+y)2-2xy=a2-2b; ②x3+y3=(x+y)3-3xy(x+y)=a3-3ab; ③x4+y4=(x+y)4-4xy(x2+y2)-6x2y2=a4-4a2b+2b2; ④x5+y5=(x+y)(x4-x3y+x2y2-xy3+y4) =(x+y)[x4+y4-xy(x2+y2)+x2y2] =a[a4-4a2b+2b2-b(a2-2b)+b2] =a5-5a3b+5ab2. 例2.求证:四个连续整数的积加上1的和,一定是整数的平方. 证明:设这四个数分别为a, a+1, a+2, a+3. (a为整嫌春颂数) a(a+1)(a+2)(a+3)+1=a(a+3)(a+1)(a+2)+1 =(a2+3a)(a2+3a+2)+1 =(a2+3a)2+2(a2+3a)+1 =(a2+3a+1)2. ∵a是整数,整数的和,差,积,幂也是整数. ∴a2+3a+1是整数. 例3.求证:2222+3111能被7整除. 证明:2222+3111=( 22)111+3111=4111+3111. ∵a2n+1+b2n+1能被a+b整除,(见内容提要4) ∴4111+3111能被 4+3整除. ∴2222+3111能被7整除. 例4.用完全平方公式推导"个位数字为5的两位数的平方数"的计算规律. 解:∵(10a+5)2=100a2+2×10a×5+25=100a(a+1)+25. ∴"个位数字为5的两位数的平方数"的特点是: 幂的末两位数字是底数的个位数字5的平方,幂的百位以上的数字是底数的十位上数 字a乘以(a+1)的积. 例如:152=225, 幂的百位上的数字2=1×2; 252=625, 6=2×3; 352=1225, 12=3×4; …… 1052=11025, 110=10×11.