弦切角定理 .!!

弦切角定理 .!!

http://www.cbe21.com/subject/maths/html/040201/2002_01/20020117_1138.html弦切饥含谈角的定义： 顶点在圆上，并且一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。 弦切角定理： 弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。烂碰 证明： 做过切点的直径，连接弦和这条直径的另一端，先说明直径所对的圆周角是直角，然后直径和弦所在的直角三角形的两个锐角就互补，然后过切点的直径垂直于切线，弦和切线把这个直角分成两部分，其中有一个是上面那个直角三角形的一个锐角，然后用等式性质减去重复的部分，剩下的就是弦切角和所夹的弧所对的圆周角相等了。 1.弦切角定理¬弦切角的定义：顶点在圆上，并且一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。如：问：1. 三个图中各有几个弦切角？它们所夹的弧各是什么？2. 所夹的弧是半圆的弦切角为_________角；所夹的弧是劣弧的弦切角为_________角；当弦切角为钝角时，其所夹的弧是_________弧。­形成概念：问：弦切角和它所夹的弧与弧所对的圆周角之间有什么关系？弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半.已知：AC是⊙O的弦，AB是⊙O的切线，A为切点，弧是弦切角∠BAC所夹的弧.求证：.证明：分三种情况：（1） 圆心O在老键∠BAC的一边AC上∵AC为直径，AB切⊙O于A，∴.∵为半圆,∴,∴.（2） 圆心O在∠BAC的内部.过A作直径AD交⊙O于D,那么 .（3） 圆心O在∠BAC的外部,过A作直径AD交⊙O于D那么 .∴. 由弦切角定理可以得到： 推论：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.练习．如图，⊙O的割线PAB与切线TP相交于点P，点C是切点，连接AC，BC，则图中有哪几对相等的角？ 解：图中相等的角：∠PCA=∠B； ∠TCB=∠CAB ∠BCP=∠CAP2.应用举例例1：如图，在中，,,，以AB为弦的⊙O与AC相切于点A，求长.解：连结OA，OB.∵在中, ∠C=Rt∠∴∵ （弦切角定理）∴又∵AO=BO∴为等边三角形∴AO=AB==∴例2：如图，AD是ΔABC中∠BAC的平分线，经过点A的⊙O与BC切于点D，与AB，AC分别相交于E，F. 求证：EF‖BC. 证明：连DF. AD是∠BAC的平分线 ∠BAD=∠DAC ∠EFD=∠BAD ∠EFD=∠DAC ⊙O切BC于D ∠FDC=∠DAC ∠EFD=∠FDC EF‖BC 例3：如图，ΔABC内接于⊙O，AB是⊙O直径，CD⊥AB于D，MN切⊙O于C， 求证：AC平分∠MCD，BC平分∠NCD. 证明：∵AB是⊙O直径 ∴∠ACB=90 ∵CD⊥AB ∴∠ACD=∠B， ∵MN切⊙O于C ∴∠MCA=∠B， ∴∠MCA=∠ACD， 即AC平分∠MCD，同理：BC平分∠NCD.例4 如图，已知：C点在⊙O直径BE延长线上，CA切⊙O于A点，ÐC的平分线交AE于F点，交AB于D点. (1).求ÐADF的度数；(2).若ÐACB的度数为y度，ÐB的度数为x度，写出y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；(3).若AB=AC，求AC:BC. 解：①∵AC为⊙O切线∴∠B=∠EAC∵CD平分∠ACB∴∠ACD=∠DCB∴∠B+∠DCB=∠EAC+∠ACD即∠ADF=∠AFD∵BE为⊙O直径∴∠DAE=Rt∠∴∠ADF==45 ②∵∠B=∠EAC∴∠B+∠BAC+∠ACB=180∴∵0<∠B<∠ADC∴0