圆锥体积公式的推导过程（详细）

圆锥体积公式的推导过程（详细）

问题补充说明：倒水法也可以... 倒水法也可以 展开

棱锥、圆锥的体积

课型：新课

教学目的与要求：掌握锥体的等积定值，锥体的体积公式。

理解“割补法”求体积的思想，培养学只培生发现问题，解决问题的能力。

教学重点与难点：公式的推导过程，即“割补法”求体积。

教学方法：发现式教学教具：三棱柱模型、多媒体

1、复习祖日恒原理及柱体的体积公式。

2、等底面积等高的任意两个锥体的体积。

（类比于柱体体积来自公式的得出）。首先研究等底面积等高的任意两个锥体体积之间的关系。

取任意两个锥体，设它们的底面积都是S，高都是h。

（图形没有打印）

（创造祖日恒原理的条件）把这两个360问答锥体放在同一个平面α上。这时它们的顶点都在和平面α的任意平面去截它们，截面分别与底面相似，设截面和底面顶点的距离是h，截面面积分别是S1、S2，那么：

∵S1/S=h12/h2，，S2/S=h12/h政美第旧提阿抓外市死挥2，

∴S1/S=S2/S，S1=S2。

根据祖日恒原理，这两个锥体的体依校在显个厚积相等，由此得到下面的定理：

定理，等底面积等高的两个锥体的体积相等。

[本段设相利用多媒体使平行于底面的截面动态地作出，更直观地体现祖日恒原理的实质。]

3、三棱锥的体积公式

为研究三棱锥的体积，可类比于初中三角形面积的求法。

[利用纪灯打出]

----节价委味洲社草------------联部留约牛守资-----------------------------序果二推责养良协放刘-----------------------------------

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-测航钢图万和富宁普--------------------------------------事扩蛋首距------------强秋负罗功式--------------------------曲松界端我硫宗胡希语---

CCDCD

②C②

①�0�7�0�7①�0�7①B

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意绿责余黑客居ABABAB

在初中，学习三角形的面积公式之前，已知有平行四边形的面积公式，为此，将ΔABC“补”成和它同底等高的平行万船士赵例需全假志资四边形ABDC，然后沿其对角线BC，将平行四边形“分”汉非成两个三角形，由对称性，得到的ΔABC的面积为平行四边形面积的一半，即为：些纪的间效王古月着女费SΔABC=1/2ah，（a其底边长，h为高）

而今，欲求三棱锥的体积，亦可类比地借助于已知的柱体体积公式。

能否将三棱锥“补”成一个底面积为S，高为h的三棱柱呢？

[可以]以AA’为侧棱，以ΔABC为底面补成一个三棱柱。

也采用“分”的方法，这个三棱柱可分成怎样的三棱锥呢？

（图形没有打印）

[引导学生观察分析]将三棱柱分割成三个三棱锥，如图就是三棱锥1，和另两个三棱锥2、3。

[设想，这个过程由计算机完成，先将三棱柱分割下三棱锥1，将剩余部分旋转一下，使BCC’B’作为底面，可看出为一四棱锥A’-BCC’B’，然后将其分成两个三棱锥]

三棱锥1、2的底ΔABA’、ΔB’A’B的面积相等，高也相等（顶点都是C）。三棱锥2、3的底ΔB’CB’、ΔC’B’C的面积相等，高也相等。（顶点都是A’）。

∴V1=V2=V3=1/3V三棱柱

∵V棱柱Sh

∴V三棱锥=1/3Sh

最后，因为和一个三棱锥等底面积等高的任何锥体都和这个三棱锥的体积相等，所以得到下面的定理。

定理：如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底面积是S，高是h，那么它的体积是：V锥体=1/3Sh。

推论：如果圆锥的底面半径是r，高是h，那么它的体积是：

V圆锥=1/3πr2h