圆内接四边形面同歌积

圆内接四边形面同歌积

问题补充说明：圆内接四边形ABCD，AB=a，BC=b，CD=c，DA=d，p=(a+b+c+d)/2， 求证: 圆内接四边形面积S=√[(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)].

圆内接四边形ABCD，AB=a，BC=b，CD=c，DA=d，p=(a+b+c+d)/2，

求证:圆内接四边形面积S=√[(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)].

对于任意凸四边形ABCD，它的面360问答积公式为:[2t表示两对角之和]

S=√[(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcd(cost)^2].(1)

当t=180°即为:

S=√[(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)].(2)

因此对于给定的四边长的四边形以圆内接四边形的面积见同刑华扩技进支确抗最大。

(1),(2)均可用余弦定理证明。下面给出一种新证法.

证明当圆内接四边形ABCD为矩形时，(2)式显然成立。

剂切富当圆内接四边形ABCD不是矩形时，总有一组对边延长后交于一点，不妨设CB与你例样造职DA延长后交于E，设CE=x,D节洲歌指采攻女华没E=y，则由海仑公式论得:

S(ECD)=√[(x+y+c)*(x+y-c)*(x-y+c)*-x+y+c)]/4.

因为ΔDAB∽ΔECD，所以S(EAB)/S(ECD)=a^2/c^2,即

[S(ECD)按-S(EAB)]/S(ECD)=(c^2-a^2)/玉句制啊c^2，

S/S(ECD)=(c^2-a^2)/c^2.

因为x/c=(y-d)/a;y/c=(x-b)/c.

由得作赶型此可得:

x+y=c(b+d考给置为这边)/(c-a),

x-拉左y=c(b-d)/(c+a).

故有

x+y+c=c(b+c+d-a)/(c-a),

x+y-c=c(b+d+a六更的般更笑损右物浓-c)/(c-a),

x-y+c=c(a+b+c-d)/(c+a易般钟强),

-x+y+c=c(c+d+a-b)/(c+a).

因而得:

S(ECD)=[c^2/(c^2-a^2)]*√[(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)]].

故得:S=√[(p-a)地货(p-b)(p-c)(p-d)].证毕。