卡拉比猜想的意义

卡拉比猜想的意义

卡拉比猜想的证明也标志着微分几何一个新时代的到来。一个新的学科随之产生，称为几何分析。它的定义就是用非线性微分方程的方法来系统地解决安获效具几何与拓扑中的难题，反过来也用脚几何的直观与想法来理解偏微分方程的结构。

丘成桐在1978年的国际数学家大会的大会报告中系统来自而清晰地描绘了几何分析与高维单值化理论的发展前景。由此方法，一系列著名的问题得到解决，特别是唐纳森（Donaldson）为现龙汽置代表的规范场理论与低维拓扑的结合，汉密尔顿（Hamilton）的Ricc异食首该i流与庞加莱猜想的历史性进故个治突牛级血展，将几何分析的发展带到了一个高峰。

另一方面，早在1983年，丘成桐的学生曹怀东、坂东（Bando）便在他的指导下，首先用Ric360问答ci流的方法开始研究矛领卡勒流形上标准度量的存在性，使Kahler-Ricci流成为复流形研究中重要的工具之一。

塞尔说过：“一个真正好的数学猜提真底散想，它的解决应该随之而来一系列的推论和绵延不断的影响。”卡拉比猜想就是如此，这里我仅举几个例子。

首先，对于第一陈类小于和等于零的紧卡勒流形，卡拉比猜想告诉我们，Kahler-Einstein度量总是存在。其蒸中对小于零的情形，其简单的推论就解决了长期马悬而未决的Severi猜想，复二维校婷妈投影空间的复结构是唯一的，甚至任意维数复投影空间的卡勒复结构也是唯一的。

另一个匪夷所思的推论是西请宗药食括，在任意维数的这类复流形上，存在一个奇妙的陈示性数不等式，而此前代安曾凯都数几何学家却只能得到复二维的情形。第一陈类等于零的二维复流形是有名的K3曲面，托尔罗夫（Todorov）用Calabi-Yau定理证明了其周期映射是满射，萧荫堂利用Calabi-Yau度量证明了所有的K3曲面都是卡勒曲面。而高维数的第一陈类为零的复验孔少植流形的基本结构定理主军程阳攻英雨坏器际我也随之而来。这些都是复几何与代数几何中著名的猜想，在停服活油入务米攻卡拉比猜想证明之前，人们毫无办法，望而却步。

最令人惊奇的是上世纪80年代初，超弦学源家们认识到第一陈类等于零的三维复流形，恰好是他们的大统一理论所需要每灯的十维时空中的一个六维空间，这神秘的六维空间，在弦货委谁月据实益般女扬我们看不到的尺度里主宰着我们大千世界的千变万化。这个发现引发了物理学的一场革命。物理学家们兴奋地把这类流形称为Calabi-Yau空间，Yau便是丘成桐的英文姓氏。有兴趣的朋友如果在Google中输入Calabi-Yau，就会发现近40万个条目。以至于不少物理学家都以为Calabi是丘成桐的名字。正如威滕（Witten）所言，在这场物理学的革命中，每一个有重要贡献的人都会名扬千古。Calabi-Yau也在数学中引发了一系列重大的进展，如超弦学家Candelas等人通过研究不同的Calabi-Yau流形给出的相同的超对称共形场论所发现的镜对称猜想。这个猜想由丘成桐、连文豪与刘克峰以及Givental独立证明，它解决了代数几何中遗留了上百年的舒伯特（Schubert）计数问题。基于Calabi-Yau流形的基本结构，著名超弦学家威滕、瓦法（Vafa）等人发展的Chern-Simons与拓扑弦对偶理论给出了黎曼面模空间中许多奇妙的公式，如Marino-Vafa公式给出了无穷多个模空间积分的组合闭公式，此猜想由刘秋菊、周坚与刘克峰一起证明。可以说Calabi-Yau流形早已成为弦论学家们必不可少的魔匣，利用它，他们不断地变换出令人炫目的猜想，这已经成为数学与理论物理发展的潮流，至今方兴未艾。