刘维尔定理？

刘维尔定理？

刘维尔定理

应用于物理学学科的定理

在物理学中，刘维尔定理（Liouville's theorem）是经典统计力学与哈密顿力学中的关键定理。该定理断言相空间的分布函数沿着系统的轨迹是常数——即给定一个系统点，在相空间游历过程中，该点邻近的系统点的密度关于时间是常数。

基本信息

中文名

刘维尔定理

外文名

Liouville's theorem

概述

一个有界的整函数必是常函数

简介

随着一个代表点沿正则方程所确定的轨道在相空间中运动，其邻域代表点密度是不随时间改变的常数

刘维尔第1定理

在一个周期平行四边形内没有极点的椭圆函数是常数；

刘维尔第2定理

椭圆函数在任一周期平行四边形内的极点处残数之和为0；

刘维尔第3定理

n阶椭圆函数在一个周期平行四边形内取任一值n次；

刘维尔第4定理

在一周期平行四边形内零点之和与极点之和的差等于一个周期。

提出者简介

刘维尔

刘维尔(Joseph Liouville) 法国数学家。1809年3月24日生于法国加来海峡省圣奥梅尔，1882年9月8日卒于巴黎。

刘维尔的父亲克劳德-约瑟夫·刘维尔(Claud－Joseph Liouville)是一位陆军上尉，母亲名叫泰雷兹·巴朗(Thérése Bal－land)。刘维尔是他们的次子，幼时先后就学于科梅西和土尔。1825年他来到巴黎综合工科学校学习，A．M．安培(Ampère)担任分析与力学课的老师，两人曾共同探讨电动力学问题。他于1827年11月转入桥梁与公路学校，1831年获学士学位。

毕业后不久，他辞去了在伊泽尔省的工程师职务，期望得到一份教职，以便专心从事学术工作。1831年11月，他被综合工科学校教育委员会选为L．马蒂厄(Mathieu)的分析与力学课助教，由此开始了自己近50年的科学研究生涯。

1833—1838年间，刘维尔曾在成立不久的中央高等工艺制造学校讲授数学和力学，但内容均为初级的。为使自己的教学工作保持在大学水平上，他在1836年攻取了博士学位，论文题为“关于函数或其一部分的正弦与余弦级数展开式”(Sur le dévelop－pement des fonctions ou parties de fonctions en séries dc sinuset de cosinus)，探讨了傅里叶级数及其在各种力学、物理学问题中的应用，于同年在巴黎成书出版。

为适应法国数学研究的需要，刘维尔在1836年1月创办《纯粹与应用数学杂志》(Journal de matématiques pures et appli－quées)，并亲自主持了前39卷的编辑出版工作(第1辑，1—20卷，1836—1855年；第2辑，1—19卷，1856—1874年)。该杂志刊登纯粹、应用数学领域所有分支的论文，记录了19世纪中期的40年里数学活动的一部分重要内容，被后人称为《刘维尔杂志》(Liou－ville′s Journal)。

刘维尔不仅与当时一些重要的数学家保持着密切联系并定期发表他们的成果，而且热心地对年轻学者进行指导，为他们发表著作提供机会。最值得一提的当属他编辑发表E．伽罗瓦(Galois)的文章。1832年5月，伽罗瓦在决斗中被杀，刘维尔整理了他的部分遗稿并刊登在1846年的《纯粹与应用数学杂志》上，他在代数方面的独创性工作才得以为世人所知。

1838年，刘维尔接替马蒂厄成为综合工科学校的分析与力学课教席，一直工作到1851年他转入法兰西学院任数学教席为止。1839年6月和1840年，他又先后被推举为巴黎科学院天文学部委员和标准计量局成员，定期参与这两方面的活动。

刘维尔的学术活动在法国革命期间稍有中断。1848年4月23日，他入选立宪会议，是默尔特行政区的代表之一，次年5月竞选议员失败，他的政治活动遂告结束。

1851年来到法兰西学院后，刘维尔的教学工作相当自由，有更多的时间展开自己的研究工作，广泛与他人探讨。他在此职位上一直工作到1879年。不过从1874年他退出《纯粹与应用数学杂志》的编辑工作后，便不再发表著作，也很少参与法国学术界的活动了。

刘维尔一生勤于学术工作，生活淡泊宁静，每年都要回到家乡土尔的旧居休假。他在1830年与表亲玛丽-路易丝·巴朗(Marie－Louise Balland)结婚，生有三女一子。

定理内容

如果整函数 在整个平面上有界，即对所有 满足不等式，则 必为常数。

可简单描述为：一个有界的整函数必是常函数。

注：(1) 定理内容在实数范围内不成立；

(2) 定理的逆命题成立，即常数是有界常函数。

定理证明

设 是平面上任一点，对以 为中心，任意正数 为半径的圆周，利用柯西不等式，得：

而且，由于 可以任意大，所以，必有，即，由于点 是任意的，故 必为常函数。

重要推论

一、逆否命题：非常数的整函数必无界。

二、若 为有界整函数，则：

(1) 的逆也为有界整函数

(2) ，

(3) 为常数

三、几何意义

非常数整函数的值既不能全含于某一圆内，也不能全含于某一圆外。